A. Operasi Biner yang Didefinisikan Ini bentuk soal favorit TKA dan SNBT. Kamu diberi lambang yang belum pernah kamu lihat -- misalnya ⋆ \star ⋆ △ \triangle △ ⊕ \oplus ⊕ substitusi .
ℹ Info: Operasi Biner. Operasi biner adalah aturan yang memasangkan dua bilangan menjadi satu bilangan baru. Soal menuliskannya seperti ini: a ⋆ b = ( rumus yang memuat a dan b ) a \star b = (\text{rumus yang memuat } a \text{ dan } b) a ⋆ b = ( rumus yang memuat a dan b ) a a a b b b
⚠ Hati-hati: DUA HAL YANG SERING BIKIN SALAH. (1) Urutan tidak boleh ditukar. Operasi biner umumnya tidak komutatif, jadi a ⋆ b a \star b a ⋆ b b ⋆ a b \star a b ⋆ a Kerjakan dari dalam kurung. Pada ( a ⋆ b ) ⋆ c (a \star b) \star c ( a ⋆ b ) ⋆ c a ⋆ b a \star b a ⋆ b c c c
Contoh 1 Operasi ⋆ \star ⋆ a ⋆ b = 2 a + b a \star b = 2a + b a ⋆ b = 2 a + b ( 3 ⋆ 1 ) ⋆ 4 (3 \star 1) \star 4 ( 3 ⋆ 1 ) ⋆ 4
Solusi Kurung dulu: 3 ⋆ 1 = 2 ( 3 ) + 1 = 7 3 \star 1 = 2(3) + 1 = 7 3 ⋆ 1 = 2 ( 3 ) + 1 = 7 Sekarang 7 ⋆ 4 = 2 ( 7 ) + 4 = 18 7 \star 4 = 2(7) + 4 = 18 7 ⋆ 4 = 2 ( 7 ) + 4 = 18 Contoh 2 Operasi △ \triangle △ a △ b = a + 3 b a − b a \triangle b = \dfrac{a + 3b}{a - b} a △ b = a − b a + 3 b a ≠ b a \neq b a = b 5 △ x = 2 5 \triangle x = 2 5△ x = 2 x x x
Solusi Langkah 1: substitusi apa yang sudah diketahui. Yang di kiri lambang adalah 5, jadi a = 5 a = 5 a = 5
Langkah 2: hilangkan penyebutnya dengan kali silang.
5 + 3x = 2(5 - x) (sebar kalinya)
5 + 3x = 10 - 2x
3x + 2x = 10 - 5 (kumpulkan x di kiri)
5x = 5
x = 1B. Bilangan Berpangkat 1. Pangkat Bulat Positif dan Sifat-sifatnya Pangkat hanyalah cara singkat menulis perkalian berulang. Semua sifat di bawah ini lahir dari situ -- kalau lupa, tinggal jabarkan.
ℹ Info: Bilangan Berpangkat. Untuk a a a n n n a n = a × a × ⋯ × a ⏟ n faktor a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ faktor}} a n = n faktor a × a × ⋯ × a a a a basis (bilangan pokok) dan n n n pangkat (eksponen).
⚠ Hati-hati: LIMA SIFAT YANG WAJIB HAFAL. Untuk a , b ≠ 0 a, b \neq 0 a , b = 0 m , n m, n m , n a m × a n = a m + n a^m \times a^n = a^{m+n} a m × a n = a m + n a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n ( a m ) n = a m × n (a^m)^n = a^{m \times n} ( a m ) n = a m × n ( a × b ) n = a n × b n (a \times b)^n = a^n \times b^n ( a × b ) n = a n × b n ( a b ) n = a n b n \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} ( b a ) n = b n a n
Tiga sifat pertama ini yang paling sering keluar di TKA, sekaligus yang paling gampang ketuker. Polanya satu: operasinya selalu turun satu tingkat begitu pindah ke pangkat.
✓ Tips: TRIK MANTAPPU -- jembatan keledai. KATTA = KA li T ambah: a m × a n = a m + n a^m \times a^n = a^{m+n} a m × a n = a m + n BAKKU = BA gi KU rang: a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n PAPPAKALI = P angkat, P angkat, KALI : ( a m ) n = a m × n (a^m)^n = a^{m \times n} ( a m ) n = a m × n tambah , berarti asalnya kali .
Contoh 3 Sederhanakan 3 5 × 3 2 3 4 \dfrac{3^5 \times 3^2}{3^4} 3 4 3 5 × 3 2 ( 2 3 ) 2 × 4 4 4 5 \dfrac{(2^3)^2 \times 4^4}{4^5} 4 5 ( 2 3 ) 2 × 4 4
Solusi Bentuk pertama -- basisnya sudah sama, tinggal pakai sifat 1 dan 2:
3^5 × 3^2 3^(5+2) (pangkat ditambah)
----------- = --------
3^4 3^4
= 3^(7-4) = 3^3 = 27 (pangkat dikurang)Bentuk kedua -- ubah 4 jadi 2 2 2^2 2 2
(2^3)^2 × 4^4 2^6 × (2^2)^4 2^6 × 2^8 2^14
-------------- = ------------- = ----------- = ------
4^5 (2^2)^5 2^10 2^10
= 2^(14-10) = 2^4 = 162. Pangkat Nol dan Pangkat Negatif Dua bentuk ini bukan aturan baru. Keduanya konsekuensi langsung dari sifat a m a n = a m − n \dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n} a n a m = a m − n
⚠ Hati-hati: PANGKAT NOL DAN PANGKAT NEGATIF. Untuk a ≠ 0 a \neq 0 a = 0 n n n a 0 = 1 a^0 = 1 a 0 = 1 a − n = 1 a n a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} a − n = a n 1 1 a − n = a n \dfrac{1}{a^{-n}} = a^n a − n 1 = a n ( a b ) − n = ( b a ) n \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} ( b a ) − n = ( a b ) n
Contoh 4 Hitunglah 5 0 + 2 − 3 5^0 + 2^{-3} 5 0 + 2 − 3 ( 2 3 ) − 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2} ( 3 2 ) − 2
Solusi 5^0 + 2^(-3) = 1 + 1/2^3 = 1 + 1/8 = 9/8
(2/3)^(-2) = (3/2)^2 = 9/4 (pecahan dibalik, pangkat jadi positif)3. Pangkat Pecahan Pangkatnya sekarang boleh berupa pecahan. Artinya tetap masuk akal karena semua sifat pangkat di atas tetap berlaku.
ℹ Info: PANGKAT PECAHAN. Untuk a > 0 a > 0 a > 0 m , n m, n m , n n ≥ 2 n \geq 2 n ≥ 2 a 1 n = a n a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} a n 1 = n a a m n = a m n = ( a n ) m a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m a n m = n a m = ( n a ) m a n \sqrt[n]{a} n a n n n a a a n n n a a a 8 3 = 2 \sqrt[3]{8} = 2 3 8 = 2 2 3 = 8 2^3 = 8 2 3 = 8
Contoh 5 Sederhanakan 16 3 4 × 9 3 2 6 3 \dfrac{16^{\frac{3}{4}} \times 9^{\frac{3}{2}}}{6^3} 6 3 1 6 4 3 × 9 2 3
Solusi Langkah 1: ubah setiap basis jadi bilangan prima.
Langkah 2: pakai sifat ( a m ) n = a m × n (a^m)^n = a^{m \times n} ( a m ) n = a m × n
16^(3/4) = (2^4)^(3/4) = 2^(4×3/4) = 2^3 = 8
9^(3/2) = (3^2)^(3/2) = 3^(2×3/2) = 3^3 = 27
6^3 = (2 × 3)^3 = 2^3 × 3^3 = 8 × 27 = 216Langkah 3: satukan.
C. Persamaan Eksponen Berbasis Sama Kalau dua bilangan berpangkat bernilai sama dan basisnya sama, maka pangkatnya pasti sama juga. Hanya itu aturannya.
ℹ Info: MENYAMAKAN BASIS. Untuk a > 0 a > 0 a > 0 a ≠ 1 a \neq 1 a = 1 a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) a^{f(x)} = a^{g(x)} \Rightarrow f(x) = g(x) a f ( x ) = a g ( x ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) samakan basis kedua ruas , lalu samakan pangkatnya . Syarat a ≠ 1 a \neq 1 a = 1 1 5 = 1 9 1^5 = 1^9 1 5 = 1 9 5 ≠ 9 5 \neq 9 5 = 9
Contoh 6 Tentukan penyelesaian dari 4 x = 8 x − 1 4^x = 8^{x-1} 4 x = 8 x − 1
Solusi Basis 4 dan 8 sama-sama bisa diubah menjadi 2:
✓ Tips: TRIK CEPAT. Semua soal persamaan eksponen berbasis sama dikerjakan dengan urutan yang sama: (1) uraikan setiap bilangan menjadi faktor prima, (2) ubah kedua ruas supaya basisnya identik, (3) buang basisnya dan selesaikan persamaan pangkatnya. Kalau ada pangkat negatif atau pecahan di ruas kanan, ubah dulu ke bentuk pangkat biasa.
D. Bentuk Akar 1. Memecah dan Menyatukan Akar Materi ini tidak secara spesifik keluar di TKA. Namun skil ini berguna untuk mengerjakan materi lain seperti Jarak 3D dan Trigonometri.
ℹ Info: MEMECAH DAN MENYATUKAN AKAR. Untuk a , b ≥ 0 a, b \geq 0 a , b ≥ 0 a × b = a × b \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} a × b = a × b a b = a b \sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} b a = b a b > 0 b > 0 b > 0 Awas: tidak ada aturan serupa untuk penjumlahan. 9 + 16 = 25 = 5 \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 9 + 16 = 25 = 5 9 + 16 = 3 + 4 = 7 \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 9 + 16 = 3 + 4 = 7
Contoh 7 Sederhanakan 72 \sqrt{72} 72 200 \sqrt{200} 200
Solusi Cari kuadrat sempurna terbesar yang membagi habis:
√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2
√200 = √(100 × 2) = √100 × √2 = 10√2Kalau yang diambil bukan yang terbesar, hasilnya belum sederhana: 72 = 4 × 18 = 2 18 \sqrt{72} = \sqrt{4 \times 18} = 2\sqrt{18} 72 = 4 × 18 = 2 18
✓ Tips: TRIK MANTAPPU. Kuadrat sempurna yang sering dipakai: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Mulai cek dari yang terbesar yang masih ≤ \leq ≤ 200 \sqrt{200} 200 10 2 10\sqrt{2} 10 2
2. Operasi pada Bentuk Akar ⚠ Hati-hati: ATURAN MENJUMLAH DAN MENGALIKAN AKAR. Penjumlahan dan pengurangan hanya bisa dilakukan pada akar sejenis (isi akarnya sama): a c + b c = ( a + b ) c a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a + b)\sqrt{c} a c + b c = ( a + b ) c a c − b c = ( a − b ) c a\sqrt{c} - b\sqrt{c} = (a - b)\sqrt{c} a c − b c = ( a − b ) c a × b = a × b \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} a × b = a × b a b = a b \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}} b a = b a
Contoh 8 Hitunglah 50 + 18 − 8 \sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{8} 50 + 18 − 8 ( 2 3 ) × ( 5 6 ) (2\sqrt{3}) \times (5\sqrt{6}) ( 2 3 ) × ( 5 6 )
Solusi Bentuk pertama -- sederhanakan dulu supaya sejenis:
√50 + √18 - √8 = 5√2 + 3√2 - 2√2 (sederhanakan)
= (5 + 3 - 2)√2 (kumpulkan koefisien)
= 6√2Bentuk kedua -- angka dikali angka, akar dikali akar:
(2√3) × (5√6) = (2 × 5)√(3 × 6) = 10√18
= 10 × 3√2 (sederhanakan lagi)
= 30√23. Merasionalkan Penyebut Jawaban dianggap belum rapi kalau penyebutnya masih memuat akar. Merasionalkan artinya mengubah penyebut agar tidak mengandung akar tanpa mengubah nilai pecahannya -- caranya mengalikan pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama.
⚠ Hati-hati: DUA BENTUK PENYEBUT, DUA PENGALI. (1) Penyebut satu suku -- kalikan dengan akar itu sendiri: a b = a b × b b = a b b \dfrac{a}{\sqrt{b}} = \dfrac{a}{\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b} b a = b a × b b = b a b Penyebut dua suku -- kalikan dengan akar sekawan , yaitu bentuk yang sama tetapi tandanya dibalik: a b + c × b − c b − c = a ( b − c ) b − c \dfrac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \times \dfrac{\sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{b} - \sqrt{c}} = \dfrac{a(\sqrt{b} - \sqrt{c})}{b - c} b + c a × b − c b − c = b − c a ( b − c )
✓ Tips: TRIK MANTAPPU. Sekawan dari b + c \sqrt{b} + \sqrt{c} b + c b − c \sqrt{b} - \sqrt{c} b − c cuma tandanya dibalik. Itulah sebabnya tanda harus dibalik: kalau tandanya sama, yang muncul justru suku tengah 2 b c 2\sqrt{bc} 2 b c ( b + c ) ( b − c ) = b − c (\sqrt{b} + \sqrt{c})(\sqrt{b} - \sqrt{c}) = b - c ( b + c ) ( b − c ) = b − c
Contoh 9 Rasionalkan penyebut dari 6 3 \dfrac{6}{\sqrt{3}} 3 6 4 3 + 5 \dfrac{4}{3 + \sqrt{5}} 3 + 5 4 2 7 − 5 \dfrac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} 7 − 5 2
Solusi 6/√3 = 6/√3 × √3/√3 = 6√3/3 = 2√3
4/(3 + √5) = 4/(3 + √5) × (3 - √5)/(3 - √5)
= 4(3 - √5)/(9 - 5)
= 4(3 - √5)/4 = 3 - √5
2/(√7 - √5) = 2/(√7 - √5) × (√7 + √5)/(√7 + √5)
= 2(√7 + √5)/(7 - 5)
= 2(√7 + √5)/2 = √7 + √5Jangan lupa menyederhanakan di akhir. Pada dua soal terakhir penyebutnya kebetulan habis dibagi, jadi bentuknya jauh lebih ringkas daripada dugaan awal.
ℹ Info: RINGKASAN BAB 2. (A) Operasi biner: substitusi, kurung dulu, urutan jangan ditukar. (B) Pangkat: kali-tambah, bagi-kurang, pangkat-pangkat-kali; a 0 = 1 a^0 = 1 a 0 = 1 a − n = 1 a n a^{-n} = \frac{1}{a^n} a − n = a n 1 a m / n = a m n a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} a m / n = n a m