Bilangan: Jenis, Konversi, dan Operasi

A. Jenis-Jenis Bilangan

Semua bilangan yang kamu pakai sehari-hari -- dari 7, -3, 2/5, 0,75, sampai √2 dan π -- tinggal di satu rumah besar bernama bilangan real. Di dalam rumah itu ada kamar-kamar yang saling bersarang seperti ini:

Artinya setiap bilangan asli otomatis juga bilangan cacah, bulat, rasional, sekaligus real. Sebaliknya tidak berlaku.

1. Keluarga Bilangan Real

Setiap jenis bilangan punya ciri yang tegas. Hafalkan definisinya, bukan contohnya -- soal TKA suka memakai bilangan yang menyamar.

2. Genap, Ganjil, Prima, dan Komposit

Empat istilah ini hanya berlaku untuk bilangan asli (dan bulat, untuk genap-ganjil). Soal TKA sangat bergantung pada ketelitian di bagian ini.

Faktor prima suatu bilangan adalah faktor-faktornya yang merupakan bilangan prima. Contoh: faktor dari 30 adalah 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, maka faktor primanya 2, 3, 5.

Contoh 1

Dari bilangan 1, 2, 9, 17, 21, 29, 51, tentukan mana yang merupakan bilangan prima.

• 1 $\to$ faktornya {1}. Hanya satu $\to$ bukan prima.
• 2 $\to$ faktornya {1, 2} $\to$ prima.
• 9 $\to$ faktornya {1, 3, 9} $\to$ komposit.
• 17 $\to$ faktornya {1, 17} $\to$ prima.
• 21 = 3 × 7 $\to$ komposit.
• 29 $\to$ tidak habis dibagi 2, 3, 5 (cukup dicek sampai $\sqrt{29} \approx 5{,}4$) $\to$ prima.
• 51 = 3 × 17 $\to$ komposit. (Sering dikira prima!)

B. Himpunan Bilangan dan Operasinya

1. Notasi Pembentuk Himpunan

Soal TKA jarang menuliskan anggota himpunan secara langsung. Biasanya himpunannya diberikan dalam bentuk "resep" seperti ini:

Dibaca: "$A$ adalah himpunan semua $x$ di mana $x$ memenuhi syarat". Tanda $\mid$ boleh juga ditulis titik dua (:).

Contoh 2

Daftarkan anggota dari himpunan berikut:

Solusi

• $A$: asli, mulai 1, sampai 8 ikut (tanda $\le$). Maka $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$.
• $B$: bulat, lebih dari -2 (jadi -2 tidak ikut) sampai 3 ikut. Maka $B = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$.
• $C$: cacah dan genap, tidak ada batas atas sehingga sampai tak hingga. Maka $C = \{0, 2, 4, 6, 8, 10, \dots\}$ -- 0 termasuk genap dan termasuk cacah.

2. Gabungan, Irisan, dan Selisih

Setelah anggotanya terdaftar, barulah himpunan itu dioperasikan. Ada tiga operasi dasar yang harus kamu kuasai:

Contoh 3

Diberikan tiga himpunan bilangan berikut:

Tentukan hasil dari $(A \cap B) \cup C$.

Solusi

1. Kerjakan kurung dulu $(A \cap B)$. Cari yang ada di $A$ dan di $B$ sekaligus. $B$ memang jalan terus sampai tak hingga, tetapi $A$ berhenti di 8 sehingga yang lolos hanya ganjil yang tidak lebih dari 8: $A \cap B = \{1, 3, 5, 7\}$.
2. Gabungkan dengan $C$. Satukan {1, 3, 5, 7} dengan {2, 3, 5}, yang kembar ditulis sekali: $(A \cap B) \cup C = \{1, 2, 3, 5, 7\}$.

C. Konversi Bentuk Bilangan

1. Pecahan, Desimal, dan Persen

Satu bilangan yang sama bisa memakai tiga "baju" berbeda. $\dfrac{3}{4}$, $0{,}75$, dan $75\%$ itu bilangan yang persis sama. Kemampuan mengganti bajunya dengan cepat adalah senjata utama saat mengerjakan operasi campuran.

• Pecahan $\to$ Desimal: lakukan pembagian panjang (bersusun). Contoh $\dfrac{4}{5} = 0{,}8$.
• Desimal $\to$ Pecahan: ubah ke per 10, 100, 1000, dst. sesuai banyaknya angka di belakang koma. Contoh $0{,}43 = \dfrac{43}{100}$.
• Ke Persen: tinggal kalikan dengan $100\%$.
• Dari Persen: tinggal bagi dengan 100 (tulis per 100), lalu sederhanakan.

Contoh 4

Lengkapi tabel konversi berikut.

Solusi

• Baris 1: $\dfrac{2}{5} = 2 \div 5 = 0{,}4$, lalu $0{,}4 \times 100\% = 40\%$.
• Baris 2: $0{,}125 = \dfrac{125}{1000} = \dfrac{1}{8}$, lalu $0{,}125 \times 100\% = 12{,}5\%$.
• Baris 3: $24\% = \dfrac{24}{100} = \dfrac{6}{25} = 0{,}24$.

D. Operasi Hitung Campuran

1. Urutan Operasi Hitung

Kalau dalam satu baris ada beberapa operasi sekaligus, hasilnya hanya benar bila urutan pengerjaannya benar.

1. Kurung -- selesaikan yang di dalam kurung lebih dahulu.
2. Pangkat (dan akar).
3. Kali dan Bagi -- sederajat; kerjakan dari kiri ke kanan.
4. Tambah dan Kurang -- sederajat; kerjakan dari kiri ke kanan.

Contoh 5

Hitunglah $25 - 12 \times (7 - 3)$.

Solusi

25 - 12 × (7 - 3) = 25 - 12 × 4     (kurung dulu)
                  = 25 - 48
                  = -23

Contoh 6

Hitunglah $\dfrac{3}{4} + 0{,}5 \times 40\% - \dfrac{1}{5}$.

Solusi

Bilangannya campur pecahan, desimal, dan persen. Samakan dulu "bajunya" jadi desimal semua: $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$, $40\% = 0{,}4$, dan $\dfrac{1}{5} = 0{,}2$. Baru dikerjakan menurut urutan operasi.

3/4 + 0,5 × 40% - 1/5 = 0,75 + 0,5 × 0,4 - 0,2   (samakan bentuk)
                      = 0,75 + 0,2 - 0,2        (kali dulu)
                      = 0,75 = 3/4